研究人员解决一类稳定Fano簇上Kähler-Einstein度量的存在性问题

近日,北京大学讲席教授、北京国际数学研究中心主任田刚院士与他人合作的论文“On the Yau-Tian-Donaldson Conjecture for Singular Fano Varieties”被国际著名数学期刊Communications on Pure and Applied MathematicsCPAM,中文译名:《纯数学与应用数学通讯》)接受并在线发表。CPAM由享有盛名的美国库朗数学科学研究所创办,刊载理论数学、应用数学研究领域中突破性的一流研究成果。

研究人员解决一类稳定Fano簇上Kähler-Einstein度量的存在性问题

论文截图

任意流形上都有无数种度量,这些度量中有没有一种典范的度量能够最大程度上反映流形的性质?对于代数流形,Yau-Tian-Donaldson猜想提供了一个方向:稳定的代数流形上存在常数量曲率的度量,该猜想联系了微分几何和代数几何两个分支。在光滑Fano流形上,该猜想等价于Kähler-Einstein度量的存在性,这一长期未决的重大问题已被田刚早先的工作完全解决:2012年,田刚率先解决K-稳定Fano流形上Kähler-Einstein度量存在性问题(即Fano情形的著名YTD猜想),相关成果于2015年发表在CPAM

这篇论文的合作者是两位非常优秀的年轻数学家,李驰是美国普渡大学副教授,王枫是浙江大学副教授,他们本科都毕业于北京大学。此论文是田刚早先工作的进一步延伸,解决了一类稳定Fano簇上Kähler-Einstein度量的存在性这一富有挑战性的问题。证明沿用了田刚先前提出的解决YTD猜想的思路,并引进了一系列新思想和方法来克服空间奇点而造成的新困难。证明不仅使用了微分方程和多复变中已经成熟的工具,还使用了近些年代数几何中的新发展。该结果推动了Fano簇的稳定性与Kähler-Einstein度量的存在性之间等价性的研究,证明中的想法又被进一步用在后续的工作中。

延伸阅读:

北京大学数学科学学院院长、北京国际数学研究中心主任田刚教授率先解决K-稳定Fano流形上Kähler-Einstein度量存在性问题(即Fano情形的著名YTD猜想)论文已在世界顶尖数学期刊Communications on Pure and Applied MathematicsCPAM)上发表。CPAM于1948年在著名的库朗数学研究所创刊。根据ISI Journal Citation Reports,2013年CPAM被评价为302种入选数学类刊物的第一名。

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上世纪五十年代早期,美国数学家E.Calabi提出了Kähler-Einstein度量存在性问题:确定Kähler流形上存在这一度量的充分必要条件。一个明显的必要条件是第一陈示性类是正定、负定、或者为零。美籍华裔数学家丘成桐教授在1978年发表的论文中,证明了当第一陈示性类为零或负定时Kähler-Einstein度量的存在性,即上述必要条件也是充分条件。 第一陈示性类为负定的情形也被法国数学家Aubin独立解决。由于上述Calabi问题是复微分几何中的基本问题并有广泛应用,因此人们希望在研究Fano流形上(即第一陈示性类正定时)Kähler-Einstein度量的存在性问题中也有所突破。但是因为有新的必要条件,这成为一个十分困难的问题。1957年,日本数学家Matsushima发现Kähler-Einstein度量的存在性需要全纯向量场的李代数是约化的。1983年,日本数学家Futaki引进了新的全纯不变量并证明它是Kähler-Einstein度量存在的障碍。1989年,田刚利用他先前引进的不变量以及他发展的部分连续模估计这一新工具,彻底解决了复曲面上的Calabi问题。这是非常重要的突破。高维的情形则更加困难。田刚首先给出例子说明,即使没有非零全纯向量场也有可能不存在Kähler- Einstein度量。1996年,利用他与丁伟岳教授合作定义的全纯不变量,田刚引进了K稳定的概念,证明流形上存在Kähler-Einstein度量的Fano流形必须是K稳定的。之后K稳定的概念得到进一步发展并推广到任意极化的Kähler流形,成为代数几何重要的概念之一。

2012年10月,田刚率先宣布解决了K-稳定Fano流形上Kähler-Einstein度量的存在性问题并给出了证明概要。解决这个长期未决的重大问题的关键技术途径是在锥Kähler-Einstein空间情形建立田刚早先猜测的部分连续模估计,而建立这一关键估计的主要方法是推广Cheeger-Colding-Tian有关Kähler-Einstein流形的紧化理论。田刚的证明综合应用了众多理论,涉及到很多数学分支,比如微分几何、代数几何、偏微分方程、多复分析、度量几何等,特别是其证明将这些领域联系在一起,将完善并推动这些学科的发展。[北京大学]

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